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1. TÍTULO: EXPLORANDO MATEMÁTICA NO AMBIENTE SLOGOW: "CONSTRUINDO CO-OPERATIVAMENTE O PENSAMENTO FORMAL NA RECURSÃO DE CAUDA".

2. PRINCÍPIOS NORTEADORES:

2.1. Da Epistemologia Genética:

O processo de construção das estruturas lógico-matemáticas se caracteriza por uma abstração reflexiva, a qual consiste na tomada de consciência da ação e na projeção dessa num novo plano superior do pensamento, integrando-a a uma nova estrutura; essa nova estrutura é uma reconstrução da estrutura precedente, que é, então, generalizada pela combinação com os elementos específicos do novo plano de reflexão....No caso da experiência lógico-matemática, os conhecimentos obtidos não são tirados dos objetos, mas das ações exercidas sobre eles.⁽²⁾

A abstração reflexionante se torna cada vez mais autônoma (ela é a única a operar na lógica e matemática puras) e a abstração empírica só avança porque apoiada sobre a primeira.⁽³⁾

2.2. Do Objeto Matemático de Estudo:

O Princípio da indução (ou Recursão ou Recorrência) é muito útil para demonstrar proposições que se referem aos números inteiros... Não menos importante do que demonstrar proposições por indução é saber definir objetos indutivamente.⁽⁹⁾

2.3. Da Forma de Trabalho:

Os alunos, organizados em duplas frente ao micro-computador, realizam as ATIVIDADES de forma colaborativa e co-operativa. O professor observa as ações e fornece os recursos da Linguagem Logo, à medida que vão sendo solicitados pelos alunos. ⁽⁴⁾

A formação das operações sempre requer um meio favorável para a "co-operação", ou seja, operações realizadas em comum (por exemplo, o papel da discussão, crítica ou ajuda mútua, problemas levantados como resultado de trocas de informação, elevada curiosidade devida à influência do grupo social, etc.) ⁽³⁾

É na interação cognitiva no seio de uma situação que, cada um, com reciprocidade, contribui para estabilizar, modificar ou reequilibrar a construção do conhecimento. A coordenação é negociada sobre sistemas de significações e sobre sistema lógicos comuns, semelhantes ou diferentes...⁽⁵⁾

2.4. Do Instrumento de Trabalho:

Como auxiliar no processo de construção do conhecimento, o computador deve ser usado como uma máquina a ser ensinada. Nesse caso, é o aluno quem deve passar as informações para o computador. Os softwares que permitem esse tipo de atividade são as linguagens de programação, como BASIC, Pascal, LOGO;..⁽⁶⁾

Logo ensina resolução de problemas, pensamento lógico, métodos construtivos e permite ao usuário criar e manipular interativamente processos matemáticos. ⁽⁸⁾

...cinco considerações para o design de micro-mundos: proporciona um contexto de aprendizagem significativa, a qual sustenta intrinsecamente motivação e auto-regulações; estabelece um modelo onde o aprendiz vai do que "sabe ao que não sabe"; proporciona um equilíbrio entre a aprendizagem dedutiva e indutiva; enfatiza a utilidade do erro; antecipa e cria aprendizagem incidental. ⁽⁸⁾

...o computador é uma ferramenta flexível que pode ser útil à criança para aprender "qualquer coisa", tanto quanto computadores são úteis aos adultos em quase todas as tarefas.... Isto revela que a maneira de fazer computadores mais flexíveis a serviço das crianças é dar o poder a elas de dizerem ao computador o que elas querem - e isso é Programação.⁽⁸⁾

Penso que Programação tem alguma coisa a ensinar ao establishment educacional inteiro sobre o relacionamento de um aprendiz com um ponto marcante inesperado - bugs - nos seus modelos conceituais.⁽⁸⁾

3. DESENVOLVIMENTO:

3.1. INICIANDO A CONSTRUÇÃO DA RECURSÃO

3.1.1. COMPORTAMENTO ESPERADO:

No primeiro contacto com a recursão, espera-se uma conduta que reflita um pensamento pré-operatório ou pré-lógico ou intuitivo (estágio I), cujas características são:

O sujeito está centrado no sucesso ou no fracasso, fixando-se no resultado final da ação, sem atentar para a trajetória e para a discriminação das etapas dessa ação.⁽¹⁾
O pensamento é dominado pelo egocentrismo e pela ausência da necessidade de buscar validação para os seus próprios pensamentos.⁽¹⁾
As respostas se apóiam nas configurações perceptivas ou nos tateios empíricos da ação; são função da aparência do fenômeno.⁽²⁾
O sujeito quando considera situações estáticas, tende a explicá-las através de seus caracteres de configuração., ditas "colecões figurais" mais do que em função das transformações; quando se refere às transformações, assimila-as às ações pessoais do sujeito. ⁽¹⁾

3.1.2. PRESSUPOSTOS PSICO-COGNITIVOS:

Utilização de regulações perceptivas (regulações semi-reversíveis) para o estabelecimento do equilíbrio.⁽¹⁾
Pensamento dependente da realidade, com esboço das primeiras transformações virtuais.⁽¹⁾
Os estados e transformações ainda não forma um sistema único.⁽¹⁾
Ausência de qualquer reversibilidade; há apenas o "retorno empírico".⁽²⁾
As ações sensório-motoras são interiorizadas e tornam-se representações.⁽³⁾
Interiorização dos esquemas de ação.⁽²⁾
Raciocínio desprovido da condição de "necessidade" (=obrigatoriedade de ocorrência do fenômeno); só há induções prováveis.⁽²⁾

3.1.3. ATIVIDADE: CONSTRUINDO A "RECURSÃO DE CAUDA"

Considere o seguinte procedimento:

APRENDA POLI :A

PF 100 PD :A

POLI :A

FIM

Liste VALORES DE A escolhidos por você e as respectivas FIGURAS obtidas. (Será necessário acionar o comando PARAR, para interromper a execução do procedimento; por que ?)

OBSERVAÇÃO: Esta maneira de elaborar programas é chamada de RECURSÃO DE CAUDA, isto é, um processo que se auto-chama ao final da lista de instruções. Clique uma vez em RASTREAR na tela de COMANDOS e execute-o novamente. MAXIMIZE a tela de COMANDOS e aprecie como a tartaruga interpreta um procedimento com RECURSÃO DE CAUDA.

3.2. PROBLEMATIZANDO A RECURSÃO:

3.2.1. COMPORTAMENTO ESPERADO:

Neste momento, espera-se uma conduta que reflita um pensamento operatório concreto (estágio II), cujas características são:

O sujeito não se limita a agir, mas interioriza suas ações sob a forma de operações concretas.⁽¹⁾
No nível II-A se dá o início das operações concretas. No nível II-B, se dá o estabelecimento das operações concretas de seriação e correspondência, sem levar em conta as possibilidades.⁽¹⁾
O sujeito realiza deduções a partir da observação direta de suas ações.⁽¹⁾
O sujeito não mais se detém num aspecto ou noutro da situação, mas passa a considerar as partes como pertencentes a um conjunto e a estabelecer as relações possíveis entres essas partes.⁽²⁾
O sujeito procede por encaixes contíguos, sem ter, ainda, a capacidade de formar ordenadamente todas as combinações possíveis de um dado número de objetos (combinatória), de enumerá-los e de estudar suas propriedades e relações.⁽²⁾
Embora o sujeito identifique os elementos necessários para a descoberta das leis dos fenômenos, não chega à construção do conceito nem à verbalização.⁽¹⁾
Não há a investigação de uma hipótese explicativa da ação, no sentido do pensamento hipotético-dedutivo (operações formais de implicação).⁽¹⁾

3.2.2. PRESSUPOSTOS PSICO-COGNITIVOS:

O pensamento ainda é fundamentalmente ligado ao real, estruturando a realidade através da coordenação de leituras sucessivas dessa realidade.⁽¹⁾
O pensamento atinge uma primeira forma de equilíbrio estável, configurando-se o nível de reversibilidade concreta.⁽¹⁾
As formas de reversibilidade, identificadas como inversão e reciprocidade, são utilizadas separadamente ou justapostas e não combinadas entre si, não sendo possível passar de uma a outra.⁽²⁾
Há noção da conservação do todo, independentemente do arranjo de suas partes; há construção de classificações hierárquicas e da quantificação da inclusão. ⁽²⁾

3.2.3. ATIVIDADES:

ATIVIDADE 1: CONSTRUINDO A "RECURSÃO DE CAUDA"

Considere o seguinte procedimento:

APRENDA POLI :A

PF 100 PD :A

POLI :A

FIM

a) Responda, compondo uma tabela para os valores de A que são divisores de 360: qual o número N de vezes que a tartaruga deve executar o programa, de modo que "complete" a figura, sem repetir nenhum traço? Você observa alguma regularidade na lista de valores N*A ? Interprete os resultados,

b) Modifique o procedimento acima, utilizando o input N, no lugar do input A . Faça as correções necessárias no corpo do procedimento, de modo que, utilizando os valores descobertos por você para N, as resoluções gráficas sejam as mesmas obtidas com o input A.

COMENTÁRIO: Como A é divisor de 360, tem-se que A*N=360, para todo N. Assim, A=360/N.

Há aqui duas observações a fazer e que justificam a escolha dessa atividade nessa etapa do processo de construção formal da recursão:

1. abordagem de um caso particular para os valores de A;

2. a inversão dos papéis das variáveis: no 1.º procedimento, tínhamos A = variável independente e N = variável dependente; no 2.º, N = variável independente e A = variável dependente.

Assim, a solução será: APRENDA POLI :N

PF 100 PD 360/:N

POLI :N

FIM

ATIVIDADE 2: UTILIZANDO UM INPUT "CONTADOR"

Introduziremos, agora, um novo input C, dito CONTADOR, que, junto com uma CONDIÇÃO DE PARADA, do tipo SE.............[PARE] , terá as mesmas resoluções gráficas anteriores. Veja:

APRENDA POLI :N :C

SE :C=:N [PARE]

PF 100 PD 360/:N

POLI :N :C+1

FIM

a) Descubra o valor inicial do INPUT C, de modo que a figura fique completa.

SUGESTÃO: Fixe o valor de N e varie C. Clique uma vez em RASTREAR na tela de COMANDOS e execute-o novamente. MAXIMIZE a tela de COMANDOS e aprecie como a tartaruga interpreta o procedimento; RESTAURE-a.

b) Responda: O valor inicial do INPUT C se altera, se a condição de parada muda de posição como nos procedimentos abaixo ? Você observa outras alterações ? Identifique-as. OBSERVAÇÃO: Os dois últimos apresentam recursão não-caudal.

APRENDA POLI :N :C

PF 100 PD 360/:N

SE :C=:N [PARE]

POLI :N :C+1

FIM

APRENDA POLI :N :C

PF 100 PD 360/:N

POLI :N :C+1

SE :C=:N [PARE]

FIM

APRENDA POLI :N :C

SE :C=:N [PARE]

POLI :N :C+1

PF 100 PD 360/:N

FIM

3.3. ESTENDENDO O INPUT CONTADOR

3.3.1. COMPORTAMENTO ESPERADO:

Aqui, espera-se uma conduta que reflita um pensamento formal (estágio III), cujas características são:

O sujeito é capaz de descobrir as leis dos fenômenos, através da apresentação, verificação ou rejeição de hipóteses.⁽¹⁾
O sujeito no nível III-A tem por conduta a busca dos invariantes que explicam as correspondências resultantes da observação direta.⁽¹⁾
O sujeito no nível III-B, além de determinar o invariante nas relações observadas, apresenta a necessidade de encontrar a razão da existência desse invariante.⁽¹⁾
Para resolver um problema, é capaz de eleger um método exaustivo e ordenado num sistema que engloba todas as possibilidades (combinatória), embora sem descobrir a fórmula que rege essas operações.⁽²⁾
Argumentam de forma hipotética, ou seja, dissociam as variáveis envolvidas, relacionando termos de forma combinatória e raciocinando com proposições envolvendo negações e reciprocidades.⁽³

3.3.2. PRESSUPOSTOS PSICO-COGNITIVOS:

O pensamento é hipotético-dedutivo, estabelecendo proposições via implicações.⁽¹⁾
O pensamento hipotético implica a subordinação do real ao plano do possível e, conseqüentemente, a união de todas possibilidades entre si, pelas implicações necessárias que incluem o real, mas que, ao mesmo tempo, o superam.⁽³⁾
Utiliza-se da lógica proposicional.⁽¹⁾
Utiliza-se de operações, isto é, ações interiorizadas (ações executadas em pensamento sobre objetos simbólicos) , reversíveis e coordenadas em estruturas totais. ⁽²⁾
Estabelece o equilíbrio via instrumentos mais complexos de coordenação que englobam todos os campos parciais do pensamento concreto, coordenando-os num sistema geral, via todas as combinações possíveis (estrutura combinatória).⁽¹⁾
Os sujeitos do nível III possuem operações ao mesmo tempo combinatórias e suscetíveis de assegurar a necessidade dedutiva.⁽¹⁾
Dispõe de uma grande amplitude de operações virtuais que estabelecem necessariamente o equilíbrio, pois correspondem a transformações virtuais que se compensam, constituindo um sistema rigorosamente reversível.⁽¹⁾
A inversão e a reciprocidade aparecem fundidas em um todo único; há a coordenação das duas reversibilidades, o que implica na distinção e na possibilidade de composição entre elas simultâneas.⁽²⁾
A reversibilidade caracteriza a possibilidade mental, corporal ou social de se considerar as relações entre as partes e entre as partes e o todo de modo simultâneo.⁽⁷⁾
As relações estabelecidas entre os elementos de um todo obedecem a leis, as quais compõem sistemas que apresentam as mesmas formas, independentemente dos conteúdos a que se aplicam.⁽²⁾
Há independência da forma em relação ao conteúdo.⁽³⁾
O pensamento formal constitui, ao mesmo tempo, uma reflexão da inteligência sobre si mesma e uma inversão das relações entre o possível e o real (pois o real é colocado, como setor particular, no conjunto das combinações possíveis).⁽¹⁾

3.3.3. ATIVIDADE: CONDICIONANDO O INPUT CONTADOR

Considere novamente o primeiro procedimento, completado, agora, pelo input contador e a correspondente condição de parada (a definir). Defina-a, de modo que as resoluções gráficas sejam "completas" e sem repetições:

APRENDA POLI :A :C

PF 100 PD :A

SE :C=........[PARE]

POLI :A :C+1

FIM

COMENTÁRIOS:

1. Fatos que ajudam:

1.1. Basta considerar os valores de A, com A < 360.

1.2. Há três casos a considerar. Com efeito: Tome a decomposição em fatores primos de A e de 360. Das duas possibilidades, uma ocorre:

ou A não tem fatores primos comuns com 360 - CASO 1 -
ou A tem pelo menos um fator primo comum com 360. Neste caso, também há duas possibilidades:
ou todos os fatores primos de A também são fatores primos de 360 - CASO 2 -
ou pelo menos um dos fatores de A não é fator primo de 360 - CASO 3 -

1.3. O seguinte procedimento com recursão de cauda calcula o MÁXIMO DIVISOR COMUM entre os números X e Y:

APRENDA MDC :X :Y

ATR "R RESTO :X :Y

SE :R=0 [ESCREVA :Y PARE]

MDC :Y :R

FIM

2. O fato de condicionar a solução do problema ao estabelecimento das hipóteses referidas nos CASOS 1, 2 e 3, as quais totalizam as possibilidades de comportamento dos valores de A, justificam a escolha dessa atividade na última etapa da construção formal da recursão no ambiente SlogoW.

4. OBRAS CONSULTADAS:

⁽¹⁾http://maxwell.psico.ufrgs.br/lec/repositorio/posinfor/equilib.html http://maxwell.psico.ufrgs.br/lec/repositorio/posinfor/debora/ genese.html

Extrato de Piaget, J. & Inhelder, B.: Da lógica da criança à lógica do adolescente. São Paulo, Livraria Pioneira editora, 1976.

⁽²⁾Chiarottino, Zelia Ramozzi: Piaget: Modelo e Estrutura. Coleção Psicologia Contemporânea, Livraria José Olympio Editora, Rio de Janeiro, 1972.

⁽³⁾ http://www.ufrgs.br/faced/slomp

Tradução de Intellectual Evolution from Adolescense to Adulthood; Human Development, 15:1-12. 1972.

⁽⁴⁾Plano de ensino da disciplina MAT01343-O Computador na Matemática Elementar I

⁽⁵⁾ Fagundes, Léa da Cruz: A inteligência distribuída. Pátio, Ano 1, N.º1, mai/jul 1997.

⁽⁶⁾Valente,José Armando: O uso inteligente do computador. Pátio, Ano 1, N.º1, mai/jul 1997.

⁽⁷⁾Macedo, Lino de: Piaget e a nossa inteligência. Pátio, Ano 1, N.º1, mai/jul 1997.

⁽⁸⁾ FAQ em http://cher.media.mit.edu (FTP)

⁽⁹⁾ Lima, E.L.: Curso de Análise. Volume 1. RJ, IMPA, CNPq, 1976.

⁽¹⁰⁾ http://www.unicamp.br/nied/homesemi.html