Estudando Curvas em Coordenadas Polares
com o Software Graphmática

FAMILIARIZAÇÃO COM O SOFTWARE:

Em View temos a opção Graph Paper, que possibilita que se mude o "tipo de papel gráfico", podendo-se escolher a escala logaritmica, retangular, trigonométrica ou polar.
Em Colors pode-se mudar a cor de fundo e as cores que serão desenhados os gráficos. Faça a escolha White e em Grid Elementes/Colors indique cores para os gráficos .
Em Grid Range pode-se mudar a escala das coordenadas. Na janela acima temos x entre -8 e 8 e para y entre -4 e 4.
Vamos nos familiarizar também com a sintaxe usada no programa. Para indicar uma certa função precisamos usar a linguagem que o programa entende. Por exemplo, se queremos os gráficos das funções y= 2sen(a+x) ( "a" parâmetro variável ) devemos escrever:

y = 2*sin(a+x) {-3,6} {a: -1,3,1}
Onde {-3,6}: indica como domínio da função o intervalo [ -3 , 6 ]
{a: -1, 3, 1}: indica " a" variando de -1 a 3 , de unidade em unidade.

ATENÇÃO: O programa só aceita a letra "a" para expressar o parâmetro.

ATIVIDADE 1: Revisando os gráficos de SENO e COSSENO

Inicialmente devemos entrar no ambiente de trabalho trigonométrico. Para isto, no menu View clique em Graph Paper e na primeira linha de opções escolha Trig.

3.1. Considere as funções y = sen (x) e y = cos (x)

• Faça os gráficos das funções y = sin (x) e y = cos (x)
  
  
• Para que valores de x, o seno é 1 ? E -1 ?
  
  
• Para que valores de x, o cosseno é 1 ? E -1 ?
  
  
• Para que valores de x, o seno e o cosseno são nulos ?
  
  
• Em quais intervalos o seno é crescente ? E decrescente ?
  
  
• Em quais intervalos o cosseno é crescente ? E decrescente ?
  
  

3.2. Considere as funções y = sen (a*x) e y = cos (a*x)

• Faça o gráfico das funções para diferentes valores de a
  
  
• Qual o significado do parâmetro " a " no gráfico ? Compare os gráficos das funções com os gráficos de y = sin (x) e y = cos (x)
  
  

3.3. Considere as funções y = a + sen (x) e y = a + cos (x)

• Faça o gráfico das funções para diferentes valores de a
  
  
• Qual o significado do parâmetro " a " no gráfico ? Compare os gráficos das funções com os gráficos de y = sin (x) e y = cos (x)
  
  

3.4. Considere as funções y = sen ( x + a ) e y = cos ( x + a )

• Faça o gráfico das funções para diferentes valores de a
  
  
• Qual o significado do parâmetro " a " no gráfico ? Compare os gráficos das funções com os gráficos de y = sin (x) e y = cos (x)
  
  

ATIVIDADE 2: Curvas em Coordenadas Polares

Em certas situações é interessante usar o sistema de coordenadas polares; muitas equações se tornam mais simples neste sistema e além disto podemos obter curvas diferentes e interessantes.

Veja as relações entre o sistema de coordenadas polares e o sistema de coordenadas cartesianas.

Inicialmente devemos entrar no ambiente de trabalho para coordenadas polares.
Para isto no menu View clique em Graph Paper:

• na primeira linha de opções escolha Polar
• na terceira linha de opções DESATIVE Draw axes
• na última linha de opções clique em Legends e ATIVE No Legends.

Estaremos a partir de agora trabalhando em um sistema de coordenadas polares. Na tela do computador temos uma janela conforme a figura abaixo.

Definição de Coordenadas Polares:

Para definir coordenadas polares de um ponto precisamos primeiro definir o sistema de referência.
Para isto fixamos um ponto O no plano ( origem do sistema ) e uma semi-reta OA de origem O (eixo do sistema ) . As coordenadas de um ponto P serão dadas por: P ( r, t )

t = medida com sinal em radianos do ângulo AÔQ , onde Q é ponto na reta OP
r = distância com sinal de P à origem O

Assim temos que as coordenadas de P podem ser positivas e negativas. Vamos entender bem isto:

• t > 0 significa olhar para a semireta OQ como sendo obtida a partir de giro da semireta OA no sentido anti-horário segundo um ângulo de medida t
  
  
• t < 0 significa olhar para a semireta OQ como sendo obtida a partir de giro da semireta OA no sentido horário segundo um ângulo de medida valor absoluto de t
  
  
• r > 0 significa que o ponto P está na semireta OQ
  
  
• r < 0 significa que o ponto P está na semireta oposta à OQ
  
  

Para que se torne bem clara a definição de coordenadas polares entenda as coordenadas dos pontos indicados abaixo:

• Marque no sistema de cooordenadas os pontos:
  
  

• Dê as coordenadas polares dos pontos:
  
  

A sintaxe usada no Graphmática é:
r para distância
t para ângulo
p para o número p

Lembramos que como no caso de coordenadas cartesianas podemos usar o recurso de restrição de domínio e parâmetros.

• Faça o gráfico da curva r = t. Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  

• Faça o gráfico da curva r = t. Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  
• Faça o gráfico da curva r = t + a para diferentes valores de a . Que efeito o parâmetro "a" produz na curva ?
  
  
• Faça o gráfico da curva r = a . t para diferentes valores de a ( positivos, negativos e fracionários). Que efeito o parâmetro "a" produz na curva ?
  
  

• Faça o gráfico da curva r = cos ( a . t ) para diferentes valores de a . Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  Uma sugestão: faça " t" variar de 0 à p / 4, depois de p / 4 à p / 2 , de p / 2 à 3 p / 4, etc... e observe como a curva vai sendo construída.
  
  
• Que efeito o parâmetro "a" produz na curva ?
  
  
• Faça o gráfico da curva r = sin ( a . t ) para diferentes valores de a . Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  
• Que efeito o parâmetro " a" produz na curva ?
  
  
• Faça os gráficos das curvas r = b . cos ( a . t ) e r = b . sin ( a . t ) para diferentes valores de b . Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  
• Que efeito o parâmetro " b" produz na curva ?
  
  

• Faça o gráfico da curva r = ( 1 + cos ( t ) . Procure entender a relação entre a curva obtida e sua equação
  
  
• Faça o gráfico da curva r = a . ( 1 + cos ( t ) para diferentes valores de a . Que efeito o parâmetro " a " produz na curva ?
  
  

• Explore as curvas abaixo:
  
  Limançon r = a . ( 1 + b . cos ( t ) )
  
  Lemniscata de Bernoulli* r ² = a ² . cos ( 2 . t )
  
  Espiral Parabólica r ² = a ² . t / b
  
  

Referências:

^1_MARKUCHEVITCH A. I., Curvas Notáveis, Ed. Atual, SP, 1995
^2_ H.M. CUNDY, A.P. ROLLETT, Mathematical Models, Tarquin Publications, UK, 1997
^3_ A Visual Dictionary of Special Plane Curves