COMO CONSTRUIR FIGURAS SEMELHANTES?

Marina Menna Barreto *
Maria Alice Gravina *
Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS


Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em outras guardando semelhança na forma.
Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em matemática?
Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que X'Y' / XY = r, onde X e Y são pontos de F e X'e Y'pontos de F'e r constante (razão de semelhança). Observe a figura.




No nosso dia a dia podemos observar inúmeros exemplos de semelhança entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo.
A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel.
Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa semelhança de figuras? -Pense nisto!





Como ampliar ou reduzir figuras de modo que elas mantenham suas características? Por exemplo, como desenhar em um cartaz um personagem de quadrinhos? Como poderíamos ampliar as figuras abaixo?
catavento flor estrela

Vamos começar considerando figuras bem simples:
TRIÂNGULOS!!
Na geometria plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.
No entanto para nos assegurarmos de que dois triângulos são semelhantes podemos usar alguns critérios para semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. Com estes critérios não precisamos necessariamente conhecer os três ângulos e os três lados de cada triângulo. Se conhecermos dois ângulos ou dois lados e o ângulo entre eles ou três lados de cada triângulo podemos afirmar se estes triângulos são ou não semelhantes.
VAMOS CONHECER MELHOR ESTES CRITÉRIOS!!




Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma idéia bem simples de se fazer isto é dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir de igual maneira (porém o quadriculado maior ou menor) o papel no qual se fará a cópia. Assim, copia-se a figura correspondendo-se cada traço do original na cópia. Veja a figura.

carros


Um outro método de se ampliar figuras pode ser por homotetia. Clique aqui para ver em que consiste este método e qual a sua explicação matemática.
Estes métodos simples de ampliar ou reduzir figuras são eficazes em determinadas atividades, porém não são muito práticos.
Queremos aqui construir figuras semelhantes de maneira mais eficaz e ao mesmo tempo simples. Você tem idéia de como poderíamos fazer isto?
- Através de um instrumento especial, o PANTÓGRAFO !



O instrumento abaixo (pantógrafo) foi construído no programa Cabri-Geometry. Se você tem o programa Cabri instalado no seu computador você pode brincar com o pantógrafo, para isto bastando fazer o 'download' do arquivo.fig, conforme instrução abaixo.

Faça essa exploração!

pantógrafo










Para salvar o arquivo
tecle Shift e clique aqui .



Feita esta exploração inicial você deve ter observado que este instrumento amplia ou reduz figuras mantendo sempre sua forma, dependendo de qual dos pontos (L ou S) foi escolhido para fazer a reprodução.
Vamos entender a matemática deste instrumento!


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Marina Menna Barreto é licencianda em Matemática-UFRGS.E-mail:
Marina@mat.ufrgs.br
Maria Alice Gravina é professora do curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS, mestre em Matemática pelo IMPA-CNPq e aluna do programa de doutorado em Informática na Educação-UFRGS