Homotetia - Veja sua matemática!



Quando marcamos um ponto A' sobre a reta FA, tal que FA' = rFA, chamamos de r, a razão de semelhança. - Mas o que vem a ser exatamente uma razão de semelhança?
A palavra razão é usada em matemática quando queremos comparar dois ou mais elementos.
A razão de um número em relação a outro é uma comparação entre estes números através de uma divisão. Por exemplo, se a e b são dois números e b # 0, a razão entre a e b é a/b. Assim sendo, a razão entre dois segmentos é na verdade a razão entre suas medidas tomadas na mesma unidade.
Por exemplo, a razão entre os segmentos abaixo, AB e BC é 3/5.


Podemos compreender melhor este conceito, aplicando-o a figuras geométricas bem simples, triângulos! -Dizemos que dois triângulos são proporcionais quando as razões dos lados homólogos (correspondentes) são iguais.
Por exemplo, os lados dos triângulos ABC e A'B'C' são proporcionais, já que a razão entre seus lados homólogos (a e a', b e b', c e c') é igual.




Então quando chamamos de r a razão de semelhança da figura reproduzida numa homotetia significa que FA'= rFA, ou seja r = FA' / FA.

Observe a figura.










Mas o que nos garante que estas figuras são realmente semelhantes? -Para termos a semelhança assegurada é preciso que mostremos que a razão entre quaisquer dois segmentos que traçarmos (a partir de dois pontos em correspondência) nas duas figuras seja igual.
Começamos marcando um ponto X qualquer na figura 1 e seu correspondente X' na figura 2 de forma que os segmentos FX e FX' tenham a mesma razão de semelhança (r) que FA e FA'. Teremos então uma figura assim:








Podemos observar que se ligarmos os pontos A com X e A'com X' teremos dois triângulos: FAX e FA'X'.



E o que podemos afirmar sobre estes triângulos?







Os lados FA e FA' e os lados FX e FX' são proporcionais, já que possuem a mesma razão de semelhança (r). O ângulo F dos dois triângulos é o mesmo. E assim sendo, pelo critério de semelhança LAL (revisão dos critérios), podemos afirmar que os triângulos são semelhantes!
Se os dois triângulos são semelhantes, então os segmentos AX e A'X' são proporcionais aos outros lados dos triângulos. Então estes lados possuem a mesma razão de semelhança (r) que os outros pontos da figura. -Agora sim podemos afirmar que estas duas figuras são semelhantes!


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