Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Matemática

Funções e Gráficos: um curso introdutório

Maria Alice Gravina(coord.)
Luciana Peixoto
Márcia Rodrigues Notare

Introdução

Este é um curso sobre funções, dirigido aos professores e alunos de segundo grau.
É um curso virtual: os alunos participam e desenvolvem as atividades em seus locais de trabalho e em horários de acordo com suas disponibilidades. É uma primeira experiência de "ensino à distância" utilizando recursos de rede sendo implementada pelo Instituto de Matemática da UFRGS, e fez parte do projeto "O aprendizado da Matemática Elementar com o apoio de novas tecnologias".

Os conteúdos são apresentados em módulos. Em cada módulo apresentamos os conceitos básicos, aplicações e exercícios a serem resolvidos.

Nosso ambiente de discussão será virtual: através de formulário próprio, disponível na página, vamos colocar nossas dúvidas, discutir a solução dos problemas, compartilhar nossas experiências relativas ao ensino deste tópico. É fundamental a participação de todos, já que é através da cooperação entre os participantes que vamos construir nosso conhecimento .

Boa parte do trabalho será desenvolvido com o apoio de softwares de domínio público. O dinamismo de imagens proporcionado pelos softwares certamente nos darão uma melhor compreensão dos conteúdos aqui desenvolvidos. Informações sobre como acessar e instalar este material serão fornecidas aqui.

Os módulos


Módulo I

Relações entre variáveis: muitas vezes é possível identificar, em diversas situações, algumas variáveis que estão em relação de dependência. Aqui, procuramos apresentar situações que envolvem essa relação de dependência, onde você identificará suas variáveis.

Situações do Dia a Dia

Em diversos momentos de nosso cotidiano, usamos o conceito de função. Apresentamos aqui algumas situações do nosso dia-a-dia onde podemos encontrar tais relações funcionais. Para estabelecermos algumas relações, é bom saber os tipos de variáveis que existem: discretas e contínuas. A variável discreta é a que assume valores num subconjunto dos números naturais. E uma variável contínua é a que assume valores num subconjunto dos números reais. Veja algumas destas situações

Mecanismos

Aqui vamos trabalhar com "mecanismos" virtuais, que podem ser adaptados para material concreto. Vamos usar o programa "Modellus", produzido pela Universidade de Coimbra, em Portugal. Em cada um dos "mecanismos" abaixo existem objetos fixos e objetos móveis. Os objetos móveis estão em relação; encontre possíveis relações funcionais entre os objetos móveis, indique os domínios das funções, levando em consideração o mecanismo em questão.
Mecanismo 1, Mecanismo 2, Mecanismo 3 e Mecanismo 4

Situações Concretas

Aqui, procuramos apresentar alguns experimentos onde aparecem relações funcionais entre as variáveis envolvidas. Para isso, propomos a utilização de materiais concretos. Estas atividades servem para facilitar a compreensão do conceito de função. Sabemos que na maioria das situações concretas a função envolvida é do tipo linear, porém, aqui apresentaremos também funções não-lineares. Um destes experimentos deve ser aplicado em sala de aula e depois relatado através do formulário disponível abaixo.
Experimento 1: Olhando através de tubos
Experimento 2: Medindo o alcance
Experimento 3: Observando o nível de água em um copo
Experimento 4: Trabalhando com retângulos

Conceito de Função

O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é certamente um dos mais importantes em Matemática e é ferramenta poderosa na modelagem de problemas. Na busca de entendimento de fenômemos os mais variados, este conceito se faz presente. Entenda este conceito melhor.




Módulo II

Gráficos: neste módulo, vamos trabalhar com Gráficos. Para isso vamos expor algumas atividades que vão auxiliar na compreensão do conceito de função. Antes veja alguns exemplos

Interpretação de Gráficos

A interpretação de gráficos é muito importante para a compreensão do conceito de função. Portanto, vamos trabalhar com atividades que envolvem tal assunto.
Atividade I e Atividade II
Gráficos do Dia a Dia

Nesta atividade vamos analisar gráficos que encontramos diariamente em revistas e jornais.



Módulo III

Algumas funções básicas e movimentos de gráficos: neste módulo, vamos relembrar algumas funções básicas. Vamos também entender melhor os movimentos de gráficos, ou seja, trabalhar melhor com as "famílias" de algumas funções.

Funções Básicas

Função y = a.x e o conceito de proporcionalidade direta
Função y = a / x e o conceito de proporcionalidade inversa
Função potência: y = x n
Função racional particular: y = 1 / x n
Função raiz: y = x (1/n)

Movimento de Gráficos

Vamos aqui trabalhar com funções que são obtidas a partir de operações algébricas nas variáveis das funções básicas já estudadas. Essencialmente, vamos identificar a nova função como sendo alguma função mais simples cujas variáveis sofreram uma sequência de operações algébricas. As operações algébricas correspondem à transformações no gráfico dos tipos "translação vertical", "translação horizontal", "dilatação/contração na direção vertical", etc...



Módulo IV

Um conceito importante: neste módulo vamos estudar um conceito extremamente importante e que muitas vezes é esquecido no ensino de segundo grau.

Uma Primeira Leitura

Através de Situações-Problemas podemos expandir um pouco mais o conceito de função... Vamos aqui resolver alguams destas situações!

Uma Segunda Leitura

Saber determinar pontos de máximo ou de mínimo de uma função é um conhecimento matemático que nos ajuda a resolver muitos problemas práticos. Às vezes, a expressão da função é suficientemente simples, o que torna este cálculo fácil de ser feito. Mas quando isto não ocorre é preciso buscarmos uma ferramenta matemática melhor! Para isto vamos aprofundar este conceito.

Uma Terceira Leitura

Um conceito que nos resolve muitos problemas sobre funções é o conceito de derivada. Vamos então aprender um pouco sobre o que é a derivada de uma função.



Módulo V


Aplicações:Vamos agora aplicar o que aprendemos, resolvendo alguns problemas.